Осмыслить не эклектически соединение корпускулярных и волновых свойств в элементарной частице можно было только с помощью математического моделирования микропроцессов, способного привести к точному их описанию, доступному экспериментальной проверке. И физики сумели построить такую математическую модель, создав новую отрасль науки — квантовую механику.
В роли основного объекта, по отношению к которому формулируются все закономерности квантовой механики, выступает функция, зависящая от пространственных координат х, у, z и времени t и принимающая в общем случае комплексные значения. Ее называют функцией состояния или волновой функцией, или пси-функцией (по общепринятому обозначению ее греческой буквой Ψ — «пси»). Если известна пси-функция кванто-механической системы, то состояние системы вполне определено и теория позволяет предсказать все ее проявления в эксперименте. Тот факт, что в поисках первоосновы микроскопических материальных объектов физика вышла на «пси-функцию», не должен восприниматься как подмена материи функцией. Функции выражают закономерности материальных процессов не только в квантовой механике, но и в классической (это функции, являющиеся решениями системы дифференциальных уравнений Лагранжа). Материальные формы, для которых справедливы законы классической механики, мы можем воспринимать органами чувств, а материальные формы, к которым применимы законы квантовой механики, недоступны нашим чувственным восприятиям, хотя не столько по причине малости, сколько из-за принципиально иной своей природы, о чем свидетельствует принципиальное различие математических теорий классической механики и квантовой. Так удивительно ли, что единственным средством описания форм микромира и основным инструментом их исследования для нас является математика?
Даже при успешном исследовании невидимого мира средствами математики выяснение физического и геометрического смысла полученных результатов может обернуться непростой самостоятельной задачей. Так было с теорией относительности, в не меньшей мере это свойственно и квантовой механике. В 1926 году Макс Борн дал вероятностное истолкование пси-функции. Для отдельно взятой микрочастицы квадрат модуля ее пси-функции Ψ(х, у, z, t) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в окрестности точки с координатами х, у, z. Можно так подобрать постоянный множитель для пси-функции частицы, чтобы вероятность нахождения этой частицы во всем бесконечном объеме наблюдаемого пространства равнялась единице, как принято для достоверного события. Тогда если практически близкая к единице вероятность нахождения частицы придется на достаточно малую область пространства, эта область может считаться приблизительно точечной и восприниматься в эксперименте как материальная точка. Но рассматривая значительно меньшие области пространства, мы будем получать для них с помощью пси-функции вероятности нахождения частицы значительно меньшие, чем единица, и уже бес c мысленно будет ставить вопрос, в какой из этих областей достоверно находится частица. Значит локализация частицы в строгом смысле становится неопределенной и бессмысленно говорить о траектории ее движения. Вместо траектории частицы мы имеем дело с полем вероятностей, характеризуемым волновой функцией, и частица может проявиться в любой точке этого поля без непрерывного перемещения через близкие к ней точки.
