В таком, наиболее жестком варианте, выполнение этих принципов тем точнее, чем выше организация системы, чем больше число ее иерархических уровней и совершеннее механизмы памяти и наследования. Поэтому в первую очередь речь идет о живых системах и организмах.
Приведем общую форму для дерева ритмокаскадов, порождаемых одним ритмом, в случае только прямых ритмокаскадов Фейгенбаума. Здесь аргументы есть номера соответствующих бифуркаций в различных поколениях ритмокаскадов, а сама левая часть задает моменты бифуркаций.
T(n1,..., nm) = To Σ (2nk -1)
nk = n1,..., nm
n1 > n2 >... > nm.
Этот подход с успехом применялся автором при объяснении закономерностей эмбриогенеза животных и онтогенеза человека (в печати).
Для сложных природных мегасистем — биосфера, Земля, Солнечная система - мы слабо представляем их эволюцию за пределами нашего квазисинхронного среза. Однако и здесь удается обнаружить октавный принцип организации ритмов Солнечной системы, ритмокаскадные корреляции ритмов ближнего космоса и структурных перестроек процессов развития живых систем.
Системы с памятью и золотое сечение
Золотые пропорции (золотое сечение — ЗС) как проявление принципов красоты и гармонии настолько повсеместны в изобразительном искусстве, живой природе, пропорциях человеческого тела, что издревле их распространенность относилась на счет божьего промысла. И современная наука, обнаруживая ЗС во множестве природных и математических структур, по-прежнему в недоумении по поводу истоков системной общности феномена ЗС. Исключения составляют работы Лефевра по ЗС в области психологии, да критерий ЗС определения границы ХАОС-ПОРЯДОК в общих системах с динамическим хаосом (Шустер), в начале этой работы мы показали резонансный механизм порождения ЗС в довольно общих эволюционирующих нелинейных системах. Вместе с тем ЗС почти всегда встречается в живых и человекомерных системах, не случайно в неживой природе нет симметрий пятого порядка. Одним из главных признаков живых систем является память — передача информации, что обычно записывается на языке связей поколений (это немарковские процессы), их минимальное число 3: внуки, отцы, деды. Однако основой современного естествознания служит дифференциальная динамика, которая плохо приспособлена для описания таких систем,— приходится использовать язык конечных аппроксимаций. И именно поэтому в рамках дифференциальных систем ЗС не имеет выделенного статуса.
Для дальнейшего удобно ввести мультипликативную форму ряда Фибоначчи:
х(n+1) = х(n) х(n-1), которая приводится к стандартной форме простым логарифмированием, тогда
А(n) = Ln х(n) — члены обычного ряда Фибоначчи. Отметим сразу, что это уже нелинейная динамика, которая как фрагмент встречается во многих задачах, например, популяционных. Посмотрим насколько в действительности близко поведение общих систем к ЗС в асимптотических режимах.
Итак, введем произвольную систему с дискретным временем и памятью в одно «поколение»: Х(n+1) = F(Х(n), Х(n-1)), и пусть существует стационарное конечное решение системы: С = F(С, С), асимптотическое для больших значений n, т.е. Х(n) = х(n) + С, причем х(n) стремятся к нулю в некоторой окрестности точки С. Тогда справедлива следующая простая Теорема:
Необходимым и достаточным условием асимптотического стремления решения системы к стационарному состоянию С по «золотому сечению» (мультипликативная форма) является выполнение соотношений:
∂ Fx (X,Y) = ∂ Fx( X,Y) = 0, Fxy (X,Y) = 0, ∂ 2Fxy (X,Y) ≠ 0,
в стационарной точке Х=Y=С.
Доказательство не вызывает затруднений, и сводится к анализу асимптотического поведения общей квадратичной рекуренции, в которой отсутствуют члены «самодействия» старшего поколения YY. Если рассматривать уравнение поверхности 2 = F(Х,Y), то это означает, что стационарная точка должна быть невырожденным экстремумом типа «седло», хотя приведение к главным осям недопустимо, т.к. перемешивает поколения. Это очень широкий функциональный класс систем, т.е. ЗС сечение является крайне распространенным феноменом в динамических системах с памятью.
В том случае, когда члены рекуренции неограниченно растут, «стационарная» точка на бесконечности, для выполнения условия ЗС следует требовать асимптотического обнуления всех производных, кроме ХY и, возможно, YY, но теперь, напротив, допустимо самодействие «старших» поколений YY в то время, как запрещено самодействие «молодых» поколений XX.
Это позволяет ввести универсальный критерий для широкого класса дискретных систем с памятью, гарантирующий в окрестности устойчивой стационарной точи асимптотическую сходимость по ЗС. Проанализированы причины нарушения закона ЗС, они могут быть связаны либо со «старческими браками» YY в стабилизирующейся системе, либо, напротив, с «молодежными браками» XX, если стационарная точка на бесконечности - неограниченный рост. Все это позволяет обосновать распространенность ЗС в развитии социальных, живых и информационных систем, т.к. переход к логарифмическим координатам позволяет проводить информационно-энтропийную интерпретацию (так связана энтропия со статвесом), кроме того, многие рецепторы и органы чувств имеют логарифмическую шкалу восприятия.
